Intereses y capitalización compuesta
En el mundo de las matemáticas financieras, la capitalización compuesta es una herramienta fundamental para calcular el crecimiento de una inversión a lo largo del tiempo. En el problema planteado, se nos da la información de que al invertir 8.000 € durante n años, a un interés constante, se obtienen 5.000 € en intereses. Este escenario nos permite aplicar la fórmula del montante en capitalización compuesta para determinar el valor final de la inversión.
La fórmula del montante en capitalización compuesta se expresa de la siguiente manera:
[ C_n = C_o(1+i)^n ]
Donde:
– ( C_n ) es el montante o valor final de la inversión
– ( C_o ) es el capital inicial invertido
– ( i ) es la tasa de interés
– ( n ) es el número de periodos de capitalización
Con esta fórmula, podemos calcular el valor final de la inversión inicial de 8.000 € después de n años, teniendo en cuenta los 5.000 € de intereses obtenidos. Una vez calculado este montante, podremos aplicar el mismo razonamiento para determinar el montante obtenido al capitalizar 10.000 € durante el doble de tiempo, al mismo tipo de interés.
Resolución analítica del problema
Para abordar este problema de manera analítica, es fundamental comprender la relación entre el capital inicial, los intereses generados y el montante final de la inversión. En este caso, dado que se nos pide determinar el montante obtenido al capitalizar 10.000 € durante el doble de tiempo, al mismo tipo de interés, debemos aplicar la lógica de la capitalización compuesta.
Partiendo de la ley de capitalización continua, podemos establecer la relación entre el capital inicial ((C_o)), el capital final ((C_n)), la tasa de interés ((i)) y el número de periodos de capitalización ((n)). Al conocer el montante obtenido al capitalizar 8.000 € durante n años, podemos determinar el valor de la expresión ((1+i)^n), que representa el factor de crecimiento de la inversión inicial.
Una vez calculado este factor de crecimiento, podemos aplicarlo al capital inicial de 10.000 € y al doble de tiempo de capitalización para obtener el montante final de la segunda inversión. Esta resolución analítica nos permitirá comprender en detalle el proceso de capitalización compuesta y aplicarlo a diferentes escenarios financieros.
